题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=mx2+2mx+cm≠0),与y轴交于点C0﹣4),与x轴交于点A﹣40)和点B

1)求该抛物线的解析式;

2)若P是线段OC上的动点,过点PPEOA,交AC于点E,连接AP,当AEP的面积最大时,求此时点P的坐标;

3)点D为该抛物线的顶点,QABD的外接圆,求证Q与直线y=2相切.

【答案】1y=x2+x﹣42P0﹣2);3)见解析

【解析】

试题分析:审题知:(1)题中已知抛物线上的两个点,只需将点坐标代入抛物线解析式即可求解;

2)此题只需设出点P的坐标(0t),并根据题中关系,列出AEP面积关于t的二次函数即可求解;

3)此题应先求出圆心Q的坐标,在求出半径,证明圆心到直线的距离等于半径即可.

解:(1)把点C0﹣4),点A﹣40)坐标代入:y=mx2+2mx+cm≠0)得:

解得:

所以:抛物线的解析式为:y=x2+x﹣4

2)设点P0t﹣4≤t≤0,则有:PC=t+4OP=﹣tOA=4

PEOA可知:三角形CPE,三角形POA,三角形AOC均为直角三角形,

所以:,解得:PE=t+4

所以:SAEP=×OA×OC﹣×OA×OP﹣×PC×PE

=×4×4﹣×4×﹣t×t+4×t+4

=﹣t2﹣2t

所以:当t=﹣=﹣2时,AEP的面积最大,

此时:P0﹣2);

3)过点DDMx轴,垂足为M

抛物线的解析式为:y=x2+x﹣4=x+12

所以:顶点D﹣1),点M﹣10),AM=﹣1﹣﹣4=3

由圆和抛物线的对称性可知:圆心QDM上,QMAB

设圆Q的半径为r,则AQ=rQM=﹣r,由勾股定理得:

r2=+32,解得:r=QM=﹣r=,所以点Q﹣1

因为直线y=2x轴平行,所以点Q到直线y=2的距离为:2﹣=

所以:圆心Q到直线y=2的距离=圆的半径

所以:Q与直线y=2相切.

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