题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=mx2+2mx+c(m≠0),与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A(﹣4,0)和点B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若P是线段OC上的动点,过点P作PE∥OA,交AC于点E,连接AP,当△AEP的面积最大时,求此时点P的坐标;
(3)点D为该抛物线的顶点,⊙Q为△ABD的外接圆,求证⊙Q与直线y=2相切.
【答案】(1)y=x2+x﹣4.(2)P(0,﹣2);(3)见解析
【解析】
试题分析:审题知:(1)题中已知抛物线上的两个点,只需将点坐标代入抛物线解析式即可求解;
(2)此题只需设出点P的坐标(0,t),并根据题中关系,列出△AEP面积关于t的二次函数即可求解;
(3)此题应先求出圆心Q的坐标,在求出半径,证明圆心到直线的距离等于半径即可.
解:(1)把点C(0,﹣4),点A(﹣4,0)坐标代入:y=mx2+2mx+c(m≠0)得:,
解得:.
所以:抛物线的解析式为:y=x2+x﹣4.
(2)设点P(0,t)﹣4≤t≤0,则有:PC=t+4,OP=﹣t,OA=4
由PE∥OA可知:三角形CPE,三角形POA,三角形AOC均为直角三角形,
所以:,,解得:PE=t+4
所以:S△AEP=×OA×OC﹣×OA×OP﹣×PC×PE
=×4×4﹣×4×(﹣t)﹣×(t+4)×(t+4)
=﹣t2﹣2t.
所以:当t=﹣=﹣2时,△AEP的面积最大,
此时:P(0,﹣2);
(3)过点D作DM⊥x轴,垂足为M,
抛物线的解析式为:y=x2+x﹣4=(x+1)2﹣
所以:顶点D(﹣1,),点M(﹣1,0),AM=﹣1﹣(﹣4)=3
由圆和抛物线的对称性可知:圆心Q在DM上,QM⊥AB,
设圆Q的半径为r,则AQ=r,QM=﹣r,由勾股定理得:
r2=+32,解得:r=,QM=﹣r=,所以点Q(﹣1,﹣)
因为直线y=2与x轴平行,所以点Q到直线y=2的距离为:2﹣(﹣)=,
所以:圆心Q到直线y=2的距离=圆的半径
所以:⊙Q与直线y=2相切.