题目内容
有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个
圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的
；第三次，再将四个
圆周分别分成两个
圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的
；第四次，再将八个
圆周分别分成两个
圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的
…如此进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
考点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链
专题：数字串问题
分析：本题不必想得太复杂，即第n次分圆后增加了第（n-1）次分圆后所有数字之和的
（因为是相邻两数之和，所以每个数计算了2次），设第n次后数字的总和为X（n），第（n-1）次的总和为X（n-1），可得如下的递推关系式：
X（n）=X（n-1）+
，
X（n）=X（n-1）×
，
其中X（1）=2，写出各项连乘代入X（n）有：
X（n）=
×
×…×
×2
约分为：X（n）=1×
然后代入求和即可．
| n |
| 2 |
X（n）=X（n-1）+
| 2X×(n-1) |
| n |
X（n）=X（n-1）×
| n+2 |
| n |
其中X（1）=2，写出各项连乘代入X（n）有：
X（n）=
| n+2 |
| n |
| n+1 |
| n-1 |
| 4 |
| 2 |
约分为：X（n）=1×
| (n+2)×(n+1) |
| 3 |
然后代入求和即可．
解答：
解：由以上分析，可得：
X（n）=1×
=
=
=3434
答：最后圆周上的所有数之和是3434．
X（n）=1×
| (n+2)×(n+1) |
| 3 |
| (100+2)×(100+1) |
| 3 |
| 102×101 |
| 3 |
答：最后圆周上的所有数之和是3434．
点评：本题主要考查分析总结归纳能力，关键在于求出通项公式，代入计算．
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