Question

将自然数3，4，5…104，105排成一列，使得排在K（K=1，2，3…102，103）位上的数字是K的倍数，问有多少种不同的排法？

Answer 1

考点：排列组合

专题：传统应用题专题

分析：根据题意103个自然数要排在103个位置上，且满足排在K（K=1，2，3…102，103）位上的数字是K的倍数，显然除了104和105之外，每个自然数都可能在以自己为号码的位置上，因此，先确定104和105的位置，如105排在第1个位置，104排在第二个位置，先求出105约数的个数和104约数的个数，找出105可在不同位置时，其它约数可代换的位置，再找出104可在不同位置时，其它约数可代换的位置，然后再根据乘法原理进行解答即可．

解答： 解：105=3×5×7，所以105的约数有1，3，5，7，15，21，35，105，因最多位数是103，所以105可排在1，3，5，7，15，21，35的位置上，共有13种排法．同理104=2×2×2×13，可找出从104的排法共有8种，根据乘法原理，共有13×8=104种排法．
答：共有104种排法．

点评：本题的关键是求出105和104可排列的方法，再根据乘法原理进行解答．