Question

已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：竞赛专题

分析：对任意偶数2k，其平方4k²必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k²+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．

解答： 解：对任意偶数2k，其平方4k²必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k²+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．
将n=1，2，3代入知：
1+3=4=2²
1×2×3+3=9=3²
故n=1，或n=3．
答：自然数n的值为1或3．

点评：由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．