Question

3²⁰⁰³+2003除以7所得的余数是多少？

Answer 1

分析：因为2003÷3=667…2，所以3²⁰⁰³=3²×（3³）⁶⁶⁷，3³=27=28-1，所以3²⁰⁰³+2003=9×（28-1）⁶⁶⁷+2003，通过二项式定理展开后，求出除以7所得的余数．

解答：解：因为3²⁰⁰³+2003=9×（28-1）⁶⁶⁷+2003=9×（

c

0 667

28⁶⁶⁷-

c

1 667

28⁶⁶⁶+…+

c

666 667

28-

c

667 667

）+2003．
显然展开式中出最后一项不含28，其余各项都能被28整除，28是7的4倍，也能被7整除，
所以原式3²⁰⁰³+2003除以7所得的余数为-9+2003除以7的余数．
（2003-9）÷7=284…6
答：3²⁰⁰³+2003除以7所得的余数是6．

点评：本题要应用二项式定理展开，考查计算能力．