Question

给定以下数列：

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

，…，
（1）

23

29

是第

429

项；
（2）第244项是

13

22

；
（3）前30项之和是

17

7

8

．

Answer 1

分析：从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是4，则以4为分母的数便有4个．同理分母是7的得数有7个，所以第一题分母是29分子是23则前面有28组数加23个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．

解答：（1）以分母相同的分数分组，并记分母为n的分数属于第n组，从而

23

29

是第29组的第23号数，第n组由n个分数组成，从第1组到第28组有
1+2+3++28=

28×29

2

=406
个分数，因此

23

29

位于第406+23=429项．
（2）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244项在第22组，前21组有

21×22

2

=231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是

13

22

．
（3）前30项之和为
1+

1

2

（1+2）+

1

3

（1+2+3）+…+

1

7

（1+2+…+7）+

1

8

+

2

8

=1+

3

2

+2+

5

2

+3+

7

2

+4+

3

8

=10+

63

8

=17

7

8

．
故答案为：429，

13

22

，17

7

8

．

点评：这类题目需要求前几项的和及其变形应用，是有一定难度的．