Question

从1～30这30个自然数中，每次取两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有多少种不同的取法？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：首先把这30个数按被4除的余数分类：被4整除、被4除余1、被4除余2、被4除余3；再进一步分析探讨每一组的数的余数和是否为4的倍数讨论；得出结论．

解答： （1）首先把这30个数分类：1、被4整除：4，8，12…28 （7个）；2、被4除余1：1，5，9，13…29（8个）；3、被4除余2：2，6，10，14…30（8个）；4、被4除余3：3，7，11，15…27（7个）；

（2）进一步分析探讨：
第1组的数，必须和第1组的数，才能使和为4的倍数6+5+4+3+2+1=21（种）；
第2组的数，必须和第4组的数，才能使和为4的倍数7×8=56（种）；
第3组的数，必须和第3组的数，才能使和为4个倍数7+6+5+4+3+2+1=28（种）；
第4组的数，刚才已经讨论过了，不必再讨论；
所以一共有21+56+28=105（种）．
故答案为：105．

点评：此题主要利用有余数的除法特征以及分步探讨的方法解决问题．