Question

老师准备将77颗糖果分给学生，他将这些糖果分装在若干个袋子中（每袋糖颗数可以不相同）．分糖果时不能拆开袋子，每人拿到若干袋糖果．如果有7名学生，老师能够使每人得到的糖果颗数相同，如果有11名学生，老师也能使每人得到的糖果颗数相同，那么老师最少需要将这些糖果分为

17

袋．

Answer 1

分析：如果按7名同学分，至少需要7个袋子，每个袋子里有11颗．如果按11名同学分，至少需要11个袋子，每个袋子里有7颗．有17个袋子．据此可将这77颗糖果进行如下分组：7，4；7，4；7，4，；7，4；7，3，1；7，3，1；7，3，1；每袋分别装入：7，7，7，7，7，7，7，4，4，4，4，3，3，3，1，1，1．里面有7个袋子是7颗，能有8个袋子都有7颗吗，不可能，如果有分给7名学生，一定有一个学生拿两个袋子，就成了14颗，所以不可以有8个袋子都有7颗即7个袋子有7颗是最少的．7个大袋子确定了，各有七颗，结合如何组合成11与7确定小袋子．

解答：解：77=11×7，
即如有7名学生，则最少需要7个袋子每袋11颗糖果；
如有11名学生，则最少需要11个袋子每袋7颗糖果；
由此可将这77颗糖果进行如下分组：7，4；7，4；7，4，；7，4；7，3，1；7，3，1；7，3，1；
每袋分别装入：7，7，7，7，7，7，7，4，4，4，4，3，3，3，1，1，1．共17袋．
由此无论有7名学生，还是11名学生，都能使每人得到的糖果颗数相同．
故答案为：17．

点评：可以将问题转换为将一段长度为 77 的线段先后等分为7段和11段．等分为  段时除两端外至少还要标6个等分点；等分为11段时则至少还要标10个等分点，由于7和11是互质的，因此这些等分点之间没有重合，那么它们将线段分成了17 段，因此最少要将这些糖果分为17 袋．