Question

如图，在△ABC中，BD=

1

2

BC，AE=

1

4

AC，若S_△ABF=20平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

Answer 1

考点：三角形面积与底的正比关系

专题：平面图形的认识与计算

分析：如下图：作PD平行AC，设△AEF面积=t，PD=

1

2

EC=

3

2

AE；PD：AE=3：2，△PDF：△AEF=9：4，△PDF=

9

4

t，△BPD=

1

4

△ECB，△ECB=3△ABE=3×（20+t），△BPD=

3

4

t+15，△ABC=（20+t）×4=4t+80，

1

2

△ABC=2t+40=20+

3

4

t+15+

9

4

t，由此求出t，进而求出阴影部分的面积．

解答： 解：作PD平行AC，设△AEF面积=t，PD=

1

2

EC=

3

2

AE
PD：AE=3：2，△PDF：△AEF=9：4，△PDF=

9

4

t
△BPD=

1

4

△ECB
△ECB=3△ABE=3×（20+t）
△BPD=

3

4

t+15
△ABC=（20+t）×4=4t+80

1

2

△ABC=2t+40=20+

3

4

t+15+

9

4

t
解得t=5，
阴影部分的面积=

1

4

（2t+40）-t
所以阴影部分的面积=7.5（平方厘米）

方法二：作PD平行AC；
可知PD是三角形BEC的中位线，所以PD=

1

2

EC
又因AE=

1

3

EC，
所以可得PD：AE=3：2，
根据沙漏原理可知，DF=1.5AE，
设三角形AEF的面积为x，则阴影面积为1.5x，
根据题意可知S_△ADE=

1

8

S_△ABC，
S_△ABE=

1

4

S_△ABC
所以S_△ABE=2S_△ADE，
可得方程x+20=（x+1.5x）×2，
解方程得x=5，
则阴影为1.5×5=7.5
答：阴影部分的面积是7.5平方厘米．

点评：关键是关键题意正确作出辅助线，再根据三角形的面积与底之间的关系解决问题．