Question

一个两位数N，在它的左边添上适当的两个数码变成四位数时恰是原数N的平方，试求所有这样的两位数．

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：此题可以设添上的两个数码为 a，b，记k=．按题意有k×100+N=N²，即 N（N-1）=2²5²k．欲使N²是一个四位数，必须N≥32．又N与N-1互素，所以由2²5²|N（N-1）可得：或者2²|N，5²|（N-1）；或者5²|N，2²|（N-1）．然后针对这两种情况进行讨论解决．

解答： 解：设添上的两个数码为 a，b，记k=．按题意有k×100+N=N²，即 N（N-1）=2²5²k．欲使N²是一个四位数，必须N≥32．又N与N-1互素，所以由2²5²|N（N-1）可得：或者2²|N，5²|（N-1）；或者5²|N，2²|（N-1）．
当5²|N，2²|（N-1）时，N必为奇数．这就是说N必是大于32且为5²=25的倍数的奇两位数，这样的两位数N可能取的值只有75，但此时，2²74，所以，此时无解．
同理，当2²|N，5²|（N-1）时，这时N-1可能取的值只有75，此时2²|76，所以N=76．
这就解得只有76这一个两位数满足所说性质：5776=76²．

点评：此题通过设添上的两个数码为 a，b，列出关系式，得出两种情况，通过讨论，解决问题．