Question

2．将半径为5的圆立到桌面上，圆心位置记为D，从点A的位置沿直线滚动到点B，圆心位置记为点C，如图所示，连接AD、DC、BC．（π取3.14）
（1）当阴影部分面积是长方形ABCD面积的$\frac{3}{4}$时，求AB的长．
（2）在（1）的条件下有一动点P从点A出发沿AB-BC方向以2个单位每秒的速度向终点C运动，连接PD、BD，设点P运动时间为t，当t为何值时，三角形DPB的面积等于长方形ABCD面积的$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由于圆的半径已知，长方形中两空白扇形的面积可求，两空白扇形面积之和正好是长方形面积的（1-$\frac{3}{4}$），根据分数除法的意义，用两空白扇形面积之和除以（1-$\frac{3}{4}$）就是长方形的面积，由于长方形的长为圆半径，用长方形面积除以圆半径就是长方形的长AB．
（2）由（1）已求出长方形ABCD的面积，根据分数乘进率法的意义，用长方形面积乘$\frac{2}{5}$就是三角形DPB的面积，根据三角形的面积计算公式“S=$\frac{1}{2}$ah”，用三角形面积除以$\frac{1}{2}$再除以5就是底AB的长度，再根据“时间=路程÷速度”即可求时间t．

解答 解：（1）3.14×5²×$\frac{1}{4}$
=78.5×$\frac{1}{4}$
=19.625
19.625×2÷（1-$\frac{3}{4}$）
=19.625×2÷$\frac{1}{4}$
=157
157÷5=31.4
答：AB长31.4．

（2）157×$\frac{2}{5}$÷$\frac{1}{2}$÷5
=$\frac{314}{5}$÷$\frac{1}{2}$÷5
=$\frac{628}{5}$÷5
=$\frac{628}{25}$
$\frac{628}{25}$÷2=12$\frac{14}{25}$（秒）
答：当t为12$\frac{14}{25}$时，三角形DPB的面积等于长方形ABCD面积的$\frac{2}{5}$．

点评 （1）两空白部分面积容易求得，两空白部分面积是长形面积的（1-$\frac{3}{4}$），根据分数除法的意义即可求出长方形的面积，用长方形面积除以宽就是长；（2）关键是求出AB等于多少时，三角形DPB的面积等于长方形ABCD的$\frac{2}{5}$，再用这个长度除以2就是点P运动的时间．