Question

在同一平面内有20条直线，其中只有两条互相平行，请问这20条直线最少有

 

个交点，最多有

 

个交点．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：传统应用题专题

分析：（1）假设两条平行的直线分别是l₁、l₂，当其余的18条直线与l₁有一个共同的交点时，它们与l₂有18个不同的交点，此时这20条直线的交点数量最少；
（2）假设两条平行的直线分别是l₁、l₂，第3条直线与l₁、l₂的交点数是2个，要使交点数最多，则以后每增加一条直线，则都必须与前面的每条直线都有一个不同的交点，所以交点的数量最多是2+3+4+…+19个，据此解答即可．

解答： 解：（1）假设两条平行的直线分别是l₁、l₂，
当其余的18条直线与l₁有一个共同的交点时，
这20条直线的交点数量最少为：
1+18=19（个）；

（2）假设两条平行的直线分别是l₁、l₂，
第3条直线与l₁、l₂的交点数是2个，
当直线的数量是4条时，交点最多有：2+3=5（个），
当直线的数量是5条时，交点最多有：2+3+4=9（个），
当直线的数量是6条时，交点最多有：2+3+4+5=14（个），
…
当直线的数量是20条时，交点最多有：
2+3+4+5+…+19
=（2+19）×18÷2
=189（个）
答：这20条直线最少有19个交点，最多有189个交点．
故答案为：19、189．

点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是判断出：（1）当其余的18条直线与l₁有一个共同的交点时，它们与l₂有18个不同的交点，此时这20条直线的交点数量最少；（2）要使交点数最多，则以后每增加一条直线，则都必须与前面的每条直线都有一个不同的交点．