Question

由3个不为零的数字组成的三位数，将它各位上的数字重新排序后，得到一个新的三位数．新三位数和原三位数的和能否等于999？若能，请写出满足题意的原三位数和新三位数；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）两个三位数相加的过程中，最少发生0次进位，最多发生3次进位．
（2）任意两个整数相加，如不发生进位，则得到的和的各位数字之和等于两个加数的各位数字之和．如发生1次进位，则得到的和的各位数字之和=两个加数的各位数字之和-9．每多发生一次进位，多减1个9．
（3）对于三位数ABC，它的任意一个新的排列得到的新数如ACB，BAC、BCA、CAB、CBA甚至重排到本身ABC，这新旧两个数的差总归是9的倍数．
根据以上三个结论进行分析即可．

解答：解：设原数ABC的值为100A+10B+C，新数的值为100A+10B+C+9T
则要使：
100A+10B+C+100A+10B+C+9T
=2（100A+10B+C）+9T=999=9×111 成立，
必须有2（100A+10B+C）能被9整除，有100A+10B+C能被9整除．
根据被9整除的数的性质，有A+B+C能被9整除．
设原三位数的各位数字之和A+B+C=S，打乱排序后得到的新三位数数字和不变，仍为S．
则：
1、这两个三位数相加时不发生进位，和的各位数字和=2S 为偶数必≠27
2、这两个三位数相加时发生1次进位，和的各位数字和=2S-9=27，则S=18．
而当S≥15时，无论如何安排A、B、C，必至少发生两次进位．
3、发生2次进位，2S-18为偶数，必≠27
4、发生3次进位，和的各位数字和=2S-27=27，则S=27、能被9整除，
但此时仅有A=B=C=9才能成立．
显然即使满足发生3次进位的情况，仍不能使三位数的和等于999，而只能等于1998．
综上可知，不可能存在这样的三位数，使得原数和打乱后的数相加的和等于999．

点评：根据两相数相加时不同的进位情况进行分析是完成本题的关键．