Question

分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．

Answer 1

分析：解答此题要先把385分解质因数，计算出分母是385的不是最简真分数（分子是质因数的倍数的均不是最简真分数）的个数，即用质因数分别除385算出个数，减去重复的即为真分数的个数，每对真分数是成对出现的和为1，除以2即为和．

解答：解：因为385=5×7×11，在1～385这385个自然数中，
5的倍数有[

385

5

]=77（个），7的倍数有[

385

7

]=55（个），11的倍数有[

385

11

]=35（个），5×7=35的倍数有[

385

35

]=11（个），5×11=55的倍数有[

385

55

]=7（个），7×11=77的倍数有[

385

77

]=5（个），385的倍数有1个．
由容斥原理知，在1～385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个），而5、7、11互质的数有385-145=240（个）．即分母为385的真分数有240（个）．
如果有一个真分数为

a

385

，则必还有另一个真分数

385-a

385

，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1×120=120．

点评：这道题主要考查数的倍数，分解质因数，最简分数以及容斥原理运用方面的知识．