Question

在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上．证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一．

Answer 1

考点：组合图形的面积

专题：平面图形的认识与计算

分析：五点可以组成四个不相交的三角形，假设每个三角形的大小均等于或大于 

1

4

；据此分析证明即可解答问题．
则 

1

4

+

1

4

+

1

4

+

1

4

=1；
即四个三角形的面积和至少和矩形面积相等；
上面五个点必须有至少一个点在矩形上，不符合在矩形内的特征；
所以原命题成立．

解答： 解：五点可以组成四个不相交的三角形，假设每个三角形的大小均等于或大于 

1

4

；
则 

1

4

+

1

4

+

1

4

+

1

4

=1；
即四个三角形的面积和至少和矩形面积相等；
上面五个点必须有至少一个点在矩形上，不符合在矩形内的特征；
所以原命题成立．

点评：解答此题的关键是利用反证法，先假设每个三角形的大小均等于或大于 

1

4

，再与矩形的特征相比较即可解答问题．