Question

用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，设d=（A，B，630），630=2×3×3×5×7，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：3×7=21，据此解答即可；
（2）当这两个三位数分别是：231、546时，231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，进而求出它们的最小公倍数即可．

解答： 解：（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，
设d=（A，B，630），630=2×2×3×3×3×5，
因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，
所以d的因数中不可能包含5，
又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，
l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，
所以A、B的公约数中不可能包含9，
即d的因数中不可能包含9，
则d的最大值为：3×7=21，此时这两个三位数分别是：231、546，
即A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是21．

（2）当这两个三位数分别是：231、546时，
231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，
因为231=21×11，546=21×2×13，630=21×2×3×5，
所以231、546、630这三个数的最小公倍数是：
21×11×2×13×3×5=90090．

点评：此题主要考查了公约数与公倍数问题的应用，解答此题的关键是判断出：A、B、630这三个数的公约数中不可能包含5、9．