Question

从1，2，3…100中选取3个两两不同的正整数，使得它们的和能被3整除，问有多少种选取方法？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：把这100个数分三组：（1）1，4，7…100被3除余1；（2）2，5，8…98被3除余2；（3）3，6，9…99被3整除；从第一组中任选一个，从第二组中任选一个，再从第三组中任选一个，这样选出的三个数的和能被3整除；或者选每组中的三个数，它们的和也能被3整除，据此用乘法原理和组合公式计算即可解答．

解答： 解：1，4，7，…，100这34个数被3除余1；
2，5，8，…，98这33个数被3除余2；
3，6，9，…，99这33个数被3整除；
从第一组中任选一个，从第二组中任选一个，再从第三组中任选一个，这样选出的三个数的和能被3整除；
或者选每组中的三个数，它们的和也能被3整除；
共有34×33×32+

34×33×32

3×2×1

+

33×32×31

3×2×1

+

33×32×31

3×2×1

=35904+5984+5456+5456
=52800（种）
答：不同的选数法有52800种．

点评：此题考查排列组合的实际运用，注意利用两种计数原理的综合运用．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法，…，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×m₃×…×m_n种不同的方法．