Question

一个自然数有15个因数，它乘以2006后至少可能有多少个因数？最多可能有多少个因数？

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：首先把2006分解质因数，可得2006=2×17×59，然后判断出什么情况下该自然数乘以2006后的因数最少、最多：（1）如果该自然数的15个因数相同，则该自然数乘以2006后的互质数为16个2，1个17，1个59，此时该自然数乘以2006后因数的个数最少；（2）如果该自然数的15个因数互质，则该自然数乘以2006后最多互质的因数个数为18个，此时它乘以2006后因数的个数最多，据此解答即可．

解答： 解：把2006分解质因数，可得2006=2×17×59，
（1）如果该自然数的15个因数相同，
则该自然数乘以2006后的互质数为16个2，1个17，1个59，
此时它乘以2006后因数的个数最少，
①2，4，8，…，2¹⁶，一共16个；
②2×17，4×17，8×17，…，2¹⁶×17，一共16个；
③2×59，4×59，8×59，…，2¹⁶×59，一共16个；
④2×17×59，4×17×59，8×17×59，…，2¹⁶×17×59，一共16个；
所以它乘以2006后至少可能有因数的个数是：
16×4=64（个）．

（2）如果自然数的15个因数互质，
则该自然数乘以2006后最多互质的因数个数为：15+3=18（个），
此时它乘以2006后因数的个数最多，最多为：
2¹⁸-1=262144-1=262143（个）．

综上，可得它乘以2006后至少可能有64个因数，最多可能有262143个因数．
答：它乘以2006后至少可能有64个因数，最多可能有262143个因数．

点评：此题主要考查了约数个数问题的应用，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下该自然数乘以2006后的因数最少、最多．