Question

连续1999个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1999个连续自然数中最大的那个数的最小值是

2998

．

Answer 1

分析：设连续1999个正整数中最小的数是m，则m+（m+1）+…+（m+1998）=（2m+1998）×1999÷2=1999m+1999×999，根据这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n，使1999m+1999×999=n²，由上式左边能被1999整除，故n²也必能被1999整除，故n也必能被1999整除，1999m+1999×999=（m+999）×1999，设n=1999k，则m+999=1999，m=1000，从而得出最大值．

解答：解：设连续1999个正整数中最小的数是m，则
m+（m+1）+…+（m+1998）=（2m+1998）×1999÷2=1999m+1999×999
如果这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n有1999m+1999×999=n²
由于上式左边能被1999整除，故n²也必能被1999整除，
所以m+999=1999
所以m=1000，
m+1998=2998．
故答案为：2998．

点评：本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要熟练掌握．