Question

某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？

Answer 1

分析：根据“某自然数是3和4的倍数，”可知这个自然数一定含有约数3和4；又由于求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1的连乘的积就是这个数约数的个数，可知10只能写成1×10和2×5这两个算式，其中1×10不合题意；由此推出这个自然数应是1个质因数3，与4个相同质因数2的乘积，由此分析探讨即可得出答案．

解答：解：根据“某自然数是3和4的倍数，”可知这个自然数一定含有约数3和4；
又根据约数的个数的公式可得：10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以：这个自然数应是1个质因数3，与4个相同质因数2的乘积，
即这个自然数为3¹×2⁴=3×16=48，
答：这个自然数是48．

点评：此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N为合数，p、q、r是质数），则N的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．