Question

有一串分数，

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

2

3

，

1

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

…请问

7

10

是第几个分数？第400个分数是几分之几？

Answer 1

考点：数字串问题

专题：探索数的规律

分析：（1）分母是1的分数有1个，分子是1；
分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；
分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n-1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是10的分数一共有多少个；
分子是自然数，先从1增加，到分母相同时再减少到1；因此

7

10

在这个数列中应该有2个，求出第一个

7

10

是第几个即可；
（2）分母是1的分数有1个，分子是1；
分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；
分母是3的分数有4个，分子是1，2，3，1；
分母是4的分数有5个；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分数有n+1个（n＞1），由此规律进一步探究答案即可．

解答： 解：（1）分母是7的分数一共有；
2×7-1=13（个）；
从分母是1的分数到分母是10的分数一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（个）；
那么从第100个分数开始依次是：

1

10

，

2

10

，

3

10

，

4

10

，

5

10

，

6

10

，

7

10

；所以第一个

7

10

是第107个分数．
答：第一次出现的

7

10

是第107个分数．

（2）分母是3的分数有4个，分子是1，2，3，1；
分母是4的分数有5个；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分数有n+1个（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因为（26+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404个分数是

1

27

，向前推为第403个分数是

27

27

，第402个分数是

26

27

，第401个分数是

25

27

，第400个分数是

24

27

．
所以这串数的第400个数是

24

27

．

点评：本题需要找出分数个数与分母之间的规律，还要找出分子的变化规律．