Question

规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5+B△3）×（B○5+A△3）=96，且A、B均为大于0的自然数A×B的所有取值有几个．

Answer 1

考点：定义新运算

专题：计算问题（巧算速算）

分析：由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5．对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论．（1）当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；（2）当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；（3）当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12．所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11，B=1，此时乘积为11．（4）当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；（5）当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；（6）当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9．此时B=3后者B=4．则他们的乘积有27与36两种；（7）当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96．此时A+B=12．A与B的乘积有11与20两种；（8）当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96．此时有B=9．不符；（9）当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12．则A=5，B=9，乘积为45．所以A与B的乘积有11，20，27，36，45共五种．

解答： 解：A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5．对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论．
（1）当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
（2）当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
（3）当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12．
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11，B=1，此时乘积为11．
（4）当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
（5）当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
（6）当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9．此时B=3后者B=4．则他们的乘积有27与36两种；
（7）当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96．此时A+B=12．A与B的乘积有11与20两种；
（8）当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96．此时有B=9．不符；
（9）当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12．则A=5，B=9，乘积为45．
所以A与B的乘积有11，20，27，36，45共五种．
答：且A、B均为大于0的自然数A×B的所有取值有5个．

点评：关键是根据新的运算方法，进行分类讨论，注意不要遗漏和重复．