Question

14．分母是2016的所有最简真分数的和是多少？

Answer 1

分析 先把2016分解质因数，可得分子是2的倍数、3的倍数、7的倍数时，都不是最简分数，1～42中，不是2，3，7倍数的数有1，5，11，13，17，19，23，25，29，31，37，41总共12个，和为252，把这12个数分别加42，就得到了43～84中不是2，3，7倍数的数，和为252+12×42，以此类推，1～2016中不是2，3，7倍数的数的和是252+（252+12×42）+（252+12×42×2）+（252+12×42×3）+…+（252+12×42×42），求出和再除以2016即可．

解答 解：2016=2×2×2×2×2×3×3×7
所以分子是2的倍数、3的倍数、7的倍数时，都不是最简分数，
1～42中，不是2，3，7倍数的数有1，5，11，13，17，19，23，25，29，31，37，41总共12个，和为252
把这12个数分别加42，就得到了43～84中不是2，3，7倍数的数，
和为252+12×42
=252+504
=756
以此类推，1～2016中不是2，3，7倍数的数的和是
252+（252+12×42）+（252+12×42×2）+（252+12×42×3）+…+（252+12×42×42）
=252+（252+504）+（252+1008）+（252+1512）+…+（252+21168）
=252+756+1260+1764+…+21420
=580608
分母是2016的所有最简真分数的和是$\frac{580608}{2016}=288$．

点评 本题考查了最简分数，关键是得出1～2016中不是2，3，7倍数的数的和是252+（252+12×42）+（252+12×42×2）+（252+12×42×3）+…+（252+12×42×42）．