Question

对干自然数a，S_a表示a的各位数字之和．求同时满足下列条件的所有的自然数．
（1）a为奇数，且不是3的倍数；（2）

a

Sa

=m＜50，m为自然数．

Answer 1

考点：数字问题

专题：传统应用题专题

分析：可先从条件（1）a为奇数，且不是3的倍数入手，假如a是一位数，那么（2）显然满足（

a

Sa

=1），由（1），a=1，5，7．假如a是两位数，设十位数字为x，个位数字为y，则

a

Sa

=

10x+y

x+y

=1+

9x

x+y

，由于a不是3的倍数，所以Sa也不是3的倍数．但

a

Sa

=m是自然数，所以

9x

x+y

是自然数，即9x被x+y整除．因为Sa=x+y不是3的倍数，即x+y与9互质，所以x被x+y整除．但a是奇数，所以y≠O，x＜x+y，x不可能被x+y整除．因此a不可能是两位数．以此类推即可得到答案．

解答： 解：如果a是一位数，那么（2）显然满足（

a

Sa

=1），由（1），a=1，5，7．
如果a是两位数，设十位数字为x，个位数字为y，则

a

Sa

=

10x+y

x+y

=1+

9x

x+y

由于a不是3的倍数，所以Sa也不是3的倍数．但

a

Sa

=m是自然数，所以

9x

x+y

是自然数，即9x被x+y整除．因为Sa=x+y不是3的倍数，即x+y与9互质，所以x被x+y整除．但a是奇数，所以y≠O，x＜x+y，x不可能被x+y整除．因此a不可能是两位数．
如果a是四位以上的数，设a=1000x+100y十10z+u，其中y，z，u都是数字，x是自然数，则Sa≤x+y+z+u，由（2），1000x十1OOy+10z+u＜50（x+y十z十u）
于是950＜950x+50y＜40z+50u＜400+500=900矛盾，因此a不可能是四位以上的数．
如果a是三位数，设a=1OOx+1Oy+1Oz，x、y、z都是数字，x≠0，则Sa=x+y+z，
m=

100x+10y+z

x+y+z

=10+

90x-9z

x+y+z

=10+

9(10x-z)

x+y+z

与前面的推理相同，

9(10x-z)

x+y+z

是奇数，而且由于，m＜50，所以 

10x-z

x+y+z

＜

40

9

＜5，
从而，

10x-z

x+y+z

=1或3（1）
以下分两种情况来求（1）的解
（a）1Ox-z=x+y+z，即 9x=y+2z（2）
在x=1时，由（2）可得z=1，y=7或者z=3，y=3（注意a为奇数，所以z是奇数），其中第一组得出a=117是3的倍数不合要求．
在x=2时，由（2）可得z=5，y=8（不合要求）；z=7，y=4；z=9，y=0．
在x=3时，由（2）得x=y=9不合要求．
由于y+2z≤9十2×9=27，所以x不可能大于3
（b）1Ox-z=3（x+y+z），即 7x=3y+4z
同样，令x=1，2，…，9逐一检验，得出x=4时，z=7，y=0；z=1，y=8，x=6时，z=9，y=2
于是本题的解为：1，5，7，133，247，209，407，481，629

点评：本题主要考查数字问题，解题关键是根据a为奇数，且不是3的倍数，再根据第二个条件分一位数、二位数、三位数以此类推得到答案．