Question

三个2，两个1和一个0可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和．

Answer 1

考点：排列组合

专题：可能性

分析：因为0不能在最高位，所以最高位上只能是1或2．
第一位一定是1或者2，所以分两种情况．
当第一位是1时，剩下一个0，一个1和3个2，而还剩下5个位置，0有5种方法，之后1有4种方法，然后把2填入即可，所以这种情况共有：4×5=20（个）不同的六位数．
当第一位是2时，剩下一个0，两个1和两个2，0仍然5种放置方法，然后是4个位置放两个1和两个2，共有：4×3÷2=6（种）方法，所以这种情况下共有5×6=30种方法．综合起来共有20+30=50种方法．
由以上可知：不考虑0不能放在第一位，那么一共有60个六位数（其中有10个实际上是五位数），在每一位上，0出现10次，1出现20次，2出现30次，所以总和为 111111×（1×20+2×30）=8888880；其中的10个五位数，每位上出现4次1，6次2，总和为11111×（4+2×6）=177776，最后得到符合条件的所有六位数之和为888880-177776=8711104．

解答： 解：首先第一位一定是1或者2，所以分两种情况．
当第一位是1时，剩下一个0，一个1和3个2，而还剩下5个位置，0有5种方法，剩下一个1有4种方法，然后把2填入即可，所以这种情况共有：4×5=20（个）．
当第一位是2时，剩下一个0，两个1和两个2，0仍然后5种放置方法，然后是4个位置放两个1和两个2，共有：
4×3÷2=6（种），所以这种情况下共有：5×6=30（个）．
共有：20+30=50（个）；
答：共可组成50个不同的六位数．
不考虑0不能放在第一位，那么一共有60个六位数（其中有10个实际上是五位数），在每一位上，0出现10次，1出现20次，2出现30次，
所以总和为 111111×（1×20+2×30）=8888880，
其中的10个五位数，每位上出现4次1，6次2，总和为11111×（4+2×6）=177776，
所有六位数之和为888880-177776=8711104．

点评：解决本题要分两种情况考虑：当第一位是1时，有几种方法；当第一位是2时，有几种方法，要不重不漏．