摘要： 分类讨论的规则 解题总是在一定的范围进行的.解题中有时要将题目条件包含的全体对象分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答.因此,分类讨论是数学解题中的一个重要内容. (1) 分类的规则 分类时首先要明确分类的对象和分类的标准.有时还要对第一次分出的各类进行再分类,这就是第二级分类,类似地有第三级分类.第四级分类.--.这种进行多次分类的现象叫做连续分类.合理的分类不但是正确解题的基础.而且是简捷解题的出发点. 分类的原则是:不重不漏.即每一个题设包含的对象都必须在而且只在所分的一类中.为此.分类时必须做到: ① 一次分类只按一个标准进行, ② 连续分类按层次逐级进行. (2)枚举和讨论 解决需要讨论的问题的方法是枚举.枚举的基础是正确分类. 例1 求出所有的自然数n.使三个整数n.n+8.n+16都为质数. 解 现将所有自然数n按模为3的剩余类分成三类: n=3k.3k+1.3k+2. 当n=3k时.只有k=1时.三个整数都是质数, 当n=3k+1时.n+8=3k+1+8=3(k+3)不是质数, 当n=3k+2时.n+16=3k+2+16=3(k+6)不是质数. 所以满足题设的自然数只有一个3.
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乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（I） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。
【解析】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。
【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况。
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,
,分别从集合
和
中随机取一个数
和
.
，
,求向量
与
的夹角为锐角的概率；
,则点
上为事件
,
的概率最大的
.