Question

6．长为L质量为M的木板A静止在光滑的水平桌面上，有一质量为m的小木块B以水平速度V₀恰好落在木板A的左端，如图所示，木块B与木块A间的摩擦系数为μ，木块B可视为质点，试求：
（1）A和B的加速度各是多少，方向如何？
（2）当B运动到A长度的中点时，相对于A的速度是多少？
（3）如果最后B恰好到达A的右端不落下来，则V₀的值应是多大？

Answer 1

分析 （1）对木块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律即可求解木块B和木板A的加速度大小和方向；
（2）木块和木板都向右运动，木块做减速运动，木板做加速度运动，根据运动学公式求得相对于A速度
（3）木板和木块构成的系统所受到的合外力为零，因而总动量守恒，根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解．

解答 解：（1）木块和木板相对滑动，受到滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得：
对于木块B：a_B=$\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}$=μg，方向水平向左；
对于木板A：a_A=$\frac{f}{M}=\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；
（2）设经过时间t运动到A得终点，则${x}_{B}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$
${x}_{A}=\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$
$\frac{L}{2}={x}_{B}-{x}_{A}$
此时B的速度为v_B=v₀-a_Bt
A的速度为v_A=a_At
相对速度为△v=v_B-v_A
联立解得△v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-（μg-\frac{μmg}{M}）L}$
（3）B恰好到达A的右端不落下来时两者速度相同，设为v．
木板和木块构成的系统所受到的合外力为零，因而总动量守恒，则有：（M+m）v=mv₀ 　
解得 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
根据系统的能量守恒得：μmgL=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2μ（M+m）gL}{M}}$
答：
（1）A的加速度为$\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；B的加速度是μg，方向水平向左；
（2）当B运动到A长度的中点时，相对于A的速度是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-（μg-\frac{μmg}{M}）L}$
（3）如果最后B恰好到达A的右端不落下来，则v₀的值应是$\sqrt{\frac{2μ（M+m）gL}{M}}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律、动量守恒定律和运动学公式的综合运用，关键理清放上木块后木板和木块的运动情况，抓住临界状态，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解或动量守恒和能量守恒结合解答．