Question

17．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角θ=37°，宽度为l，电阻忽略不计，其上端接一电阻，阻值为R．一质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，两端与导轨接触良好，接入电路的电阻为r，与导轨上端的距离为l．在导轨间存在着垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的图象如图乙所示．已知导体棒在平行于导轨的拉力F作用下始终处于静止状态，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g．
（1）求拉力F随时间变化的关系式；
（2）若在t=t₀时撤去拉力，求导体棒运动状态达到稳定时的速度大小及此时电阻R上消耗的电功率；
（3）若在t=t₀时撤去拉力，导体棒从释放到速度达到稳定时的位移为x，求导体棒在该过程中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）在t₀时间内，导体棒MN固定不动，磁场的磁感应强度均匀增大，回路中产生恒定的感应电动势和感应电流，根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由闭合电路欧姆定律求解感应电流的大小，由楞次定律判断感应电流的方向，由受力分析即可求出F的表达式．
（2）在t=t₀时撤去拉力后MN由静止释放，先做加速运动，速度增大时，所受的安培力增大，加速度减小，当加速度减小至零时做匀速直线运动，达到稳定状态，由平衡条件和安培力与速度的关系，求出稳定时MN的速度；由功率公式求解R消耗的电功率．
（3）MN沿斜面向下运动的过程中重力沿斜面向下的分力的冲量与安培力的冲量的和等于棒MN动量的变化，由动量定理即可求出．

解答 解：（1）0～t₀时间内，回路中产生的感应电动势为：
$E=\frac{△φ}{△t}={l}^{2}\frac{△B}{△t}=\frac{{B}_{0}{l}^{2}}{{t}_{0}}$
0～t₀时间内，回路中的电流为$I=\frac{E}{R+r}$此阶段电流恒定，由楞次定律可知，回路中的电流方向为N流向M；根据左手定则可知，MN受到的安培力的方向向上．对MN进行受力分析可得：
F+BIL=mgsinθ
又：B=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}•t$
联立可得：F=$0.6mg-\frac{{B}_{0}^{3}{l}^{3}}{{t}_{0}^{2}（R+r）}$
（2）t₀时刻之后，当速度增大到使导体棒受到的安培力与重力沿斜面向下的分力相等时，速度达到最大，即为：
$\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}v}{R+r}=mgsinθ$
解得导体棒运动的最大速度为：$v=\frac{0.6mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}}$
此时电阻R上消耗的电功率为：P=I²R=$\frac{0.36{m}^{2}{g}^{2}}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$
（3）t₀时刻之后，在MN棒匀速直线运动前，电路中的平均电动势为：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{{B}_{0}lx}{t}$
则平均感应电流为：$\overline{I}$′=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
MN棒所受的安培力大小为：$\overline{F}$=${B}_{0}\overline{I}l=\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{t（R+r）}$，方向沿轨道向上．
MN沿斜面向下运动的过程中重力沿斜面向下的分力的冲量与安培力的冲量的和等于棒MN动量的变化，由动量定理得：
$mv=mgsinθ•t-\overline{F}t$
联立得：t=$\frac{m（R+r）}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}+\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{0.6mg（R+r）}$
答：（1）拉力F随时间变化的关系式为F=$0.6mg-\frac{{B}_{0}^{3}{l}^{3}}{{t}_{0}^{2}（R+r）}$；
（2）若在t=t₀时撤去拉力，导体棒运动状态达到稳定时的速度大小是$\frac{0.6mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}}$，此时电阻R上消耗的电功率是$\frac{0.36{m}^{2}{g}^{2}}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$；
（3）若在t=t₀时撤去拉力，导体棒从释放到速度达到稳定时的位移为x，导体棒在该过程中运动的时间是$\frac{m（R+r）}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}+\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{0.6mg（R+r）}$．

点评 本题运用法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求解感应电流的大小．由平衡条件即可求出导体棒的速度，应用公式E=BLv求出感应电动势，然后根据速度最大的临界条件即可求出．