Question

2．竖直放置两平行导轨处在磁感应强度为B的水平方向的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．导轨上端跨接一阻值为R的定值电阻，导轨电阻不计．两金属杆a和b水平放置，电阻均为R，质量分别为m_a和m_b，且m_b=1×10^-2Kg，它们与导轨相连，并可沿导轨无摩擦滑动，如图所示．闭合开关S，先固定b，用F=0.4N的恒力向上拉a，稳定后a以v₁=10m/s的速度匀速运动，此时再释放b，b恰好保持静止．设导轨足够长，取g=10m/s²．
（1）求a杆的质量m_a；
（2）若将金属棒a固定，让金属棒b自由滑下（开关仍闭合），求b滑行的最大速度v₂；
（3）若断开开关，将金属棒a和b都固定，使磁感应强度从B随时间均匀增加，经0.1s后磁感应强度增到2B时，a棒受到的安培力正好等于a棒的重力，求两金属棒间的距离h？

Answer 1

分析 （1）a棒匀速运动时，拉力与重力、安培力平衡，b棒静止时，b棒的重力与安培力平衡，两棒中电流关系为 I_b=$\frac{{I}_{a}}{2}$，联立解得m_b．
（2）先分析a棒匀速运动时，由平衡条件求得a棒的速度，将金属棒a固定，让金属棒b自由滑下时，匀速运动时速度最大．根据平衡条件得到速度的表达式．将两种情况的速度联立解得v₂；
（3）根据法拉第电磁感应定律得到E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=$\frac{BLh}{t}$，由题意知，a棒受到的安培力正好等于a棒的重力，有mag=2BIL，而I=$\frac{E}{2R}$，联立可解得两金属棒间的距离h．

解答 解：（1）a棒匀速运动，有 F=m_ag+BI_aL
b棒静止，由于a杆是电源，b杆与定值电阻R并联，则有  I_b=$\frac{{I}_{a}}{2}$
b杆所受的安培力与重力平衡，则得  m_bg=BI_bL
联立得 m_a=2×10^-2kg
（2）当a以v₁匀速运动时a棒中电流为：I_a=$\frac{BL{v}_{1}}{R+\frac{1}{2}R}$，
b恰好保持静止，有  m_bg=BI_bL=$\frac{B{I}_{a}L}{2}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2•\frac{3}{2}R}$
当b自由滑下至匀速运动时：I_b′=$\frac{BL{v}_{2}}{\frac{3}{2}R}$
由平衡条件有 m_bg=BI_b′L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{\frac{3}{2}R}$ 
联立得  v₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$=5m/s
（3）根据法拉第电磁感应定律有，E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=$\frac{BLh}{t}$，
又 I=$\frac{E}{2R}$
由题意得  m_ag=2BIL
由上式：m_bg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2•\frac{3}{2}R}$，得 R=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3{m}_{b}g}$
联立得 h=$\frac{{v}_{1}t{m}_{a}}{3{m}_{b}}$
代入数值，得h=$\frac{2}{3}$m
答：
（1）a杆的质量m_a是2×10^-2kg；
（2）b滑行的最大速度v₂是5m/s．
（3）两金属棒间的距离h是$\frac{2}{3}$m．

点评 本题中两根棒都处于平衡状态，根据平衡条件列方程，同时要分析两棒之间的联系，从力和能量两个角度研究双杆问题．