Question

14．桌面上有一倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，边长为L，如图所示，有一半径为$\frac{1}{3}$L的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率为n=$\sqrt{3}$，光在真空中传播的速度为c．
（1）画出光线1从射入三棱镜到射到桌面上某一点的光路；
（2）求出光束在桌面上形成的光斑半径；
（3）光线1从射入三棱镜到射到桌面上某一点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据光的折射定律与反射定律作出光路图．
（2）根据光路图应用光的折射定律与几何知识求出半径．
（3）求出光传播的路程，然后应用速度公式求出光的传播时间．

解答 解：（1）光路图如图所示：
（2）设临界角为C，则：
sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$＜sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
已知：ON=$\frac{1}{3}$L，则：OA=2 ON，
由于：∠MOA=∠AMO=30°，则：AM=OA=$\frac{2}{3}$L；
（3）由几何知识可知：
QO=QB•tan60°=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$L-$\frac{2}{3}$L）=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$L，
OD=DM=OA•sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$L，
折射率：n=$\frac{c}{v}$，光速：v=$\frac{c}{n}$，
光的传播时间：t=$\frac{QO+OD}{υ}$+$\frac{DM}{c}$=$（\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）\frac{L}{c}$；
答：（1）光路图如图所示；
（2）光束在桌面上形成的光斑半径为：$\frac{2}{3}$L；
（3）光线1从射入三棱镜到射到桌面上某一点所用的时间为：$（\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）\frac{L}{c}$．

点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．