Question

2．如图所示为一竖直放置的圆锥形容器，容器内壁光滑．两质量相同的小球（可视为质点）a和b在其内壁的两个不同高度上分别做匀速圆周运动，其半径R_b=2R_a，则下列说法中正确的是（　　）

• A． a、b两球受到的支持力大小之比为1：2
• B． a、b两球做圆周运动的周期之比为1：2
• C． a、b两球的动能之比为1：2
• D． a、b两球在运动过程中机械能守恒

Answer 1

分析 对小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出支持力、周期和动能之比．两球的动能和重力势能都不变，机械能守恒．

解答 解：ABC、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图，根据牛顿第二定律，有：
圆锥形容器对小球的支持力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，与轨道半径无关，则a、b两球受到的支持力大小之比为1：1．
 F=mgtanθ=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{gtanθ}}$，v=$\sqrt{gRtanθ}$．
由R_b=2R_a，由上可得：a、b两球做圆周运动的周期之比为1：$\sqrt{2}$，线速度之比为1：$\sqrt{2}$．
动能为 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，则知a、b两球的动能之比为1：2．故A、B错误，C正确．
D、两球的动能和重力势能都不变，机械能守恒．故D正确．
故选：CD

点评 本题关键是对小球受力分析，知道小球做匀速圆周运动向心力来自于合外力，运用合成法研究．