Question

18．如图（a）所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的．轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点（处于同一水平线上），衣服处于静止状态．已知竖直直杆间的距离为d，绳子长度为l=kd，衣架和衣服质量为m，衣架和衣服运动时做平动．
（1）如果保持绳子A端位置不变，将B端沿着秆向上缓慢移动到C位置，试定量论述绳子张力如何变化．
（2）若把绳子右端固定在B点，让挂钩从B附近释放，则衣服在下滑过程中最大速度为多大
（3）若衣服运动过程中做如图（b）虚线c所示的曲线运动，到达最低点曲率半径为r，如图（b）所示，此时绳子与挂钩位置如图所示，则衣服到达最低点时绳子张力为多大？

Answer 1

分析 （1）对挂钩受力分析，根据平衡条件结合几何关系列式求解；悬点从B移到B₁或B₂，细线与杆的夹角不变；
（2）根据几何关系求出衣服下降的高度，由机械能守恒即可求出；
（3）衣服与挂钩在最低点受到的合外力提供向心力，结合牛顿第二定律即可求出．

解答 解：（1）对挂钩受力分析，如图，设绳子与水平方向之间的夹角为θ：

设挂钩为O，从B移到C时，有：
AO•sinθ+OB•sinθ=AO•sinα+OC•sinα
（AO+OB）sinθ=（AO+OC）sinα
AO+OB和AO+OC等于绳长，故θ=α，即悬点从B移到C，细线与杆的夹角不变；
根据平衡条件，有
  2Tcosθ=mg
所以绳子的拉力不变；
（2）设挂钩从B附近释放，衣服在下滑过程中下降的最大高度为h，由几何关系可知：
h=$\sqrt{（\frac{kd}{2}）^{2}-（\frac{d}{2}）^{2}}$=$\frac{d}{2}\sqrt{{k}^{2}-1}$
由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=mgh$
所以：${v}_{m}=\sqrt{gd\sqrt{{k}^{2}-1}}$
（3）衣服在最低点受到的合外力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$2Tcosθ-mg=\frac{m{v}_{m}^{2}}{r}$
其中：$cosθ=\frac{h}{r}$
联立得：$T=\frac{1}{2}kmg（\sqrt{{k}^{2}-1}+\frac{d}{r}）$
答：（1）如果保持绳子A端位置不变，将B端沿着秆向上缓慢移动到C位置，绳子张力不变．
（2）若把绳子右端固定在B点，让挂钩从B附近释放，则衣服在下滑过程中最大速度为$\sqrt{gd\sqrt{{k}^{2}-1}}$；
（3）若衣服运动过程中做如图（b）虚线c所示的曲线运动，到达最低点曲率半径为r，如图（b）所示，此时绳子与挂钩位置如图所示，则衣服到达最低点时绳子张力为$\frac{1}{2}kmg（\sqrt{{k}^{2}-1}+\frac{d}{r}）$．

点评 本题关键根据几何关系，得到两种移动方式下，绳子与竖直方向的夹角的变化情况，然后根据共点力平衡条件列式求解．