Question

在长为2L的绝缘轻质细杆的两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B（可视为质点，也不考虑二者间的相互作用力），A球带正电、电荷量为+2q，B球带负电．电荷量为-3q．现把A和B组成的带电系统锁定在光滑绝缘的水平面上，并让A处于如图所示的有界匀强电场区域MPQN内．已知虚线MP是细杆的中垂线，MP和NQ的距离为4L，匀强电场的场强大小为E，方向水平向右．现取消对A、B的锁定，让它们从静止开始运动．（忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响）
（1）求小球A、B运动过程中的最大速度；
（2）小球A、B能否回到原出发点？若不能，请说明理由；若能，请求出经过多长时间带电系统又回到原地发点．
（3）求运动过程中带电小球B电势能增加的最大值．

Answer 1

分析：（1）当B球进入电场后，合力向左，系统开始减速，故此时物体速度最大，对加速过程运用动能定理列式求解即可；
（2）系统在B球进入电场前做加速运动，B球进入电场后开始做减速运动；返回过程先加速后减速，向右和向左的过程具有对称性；
由牛顿第二定律，求解出加速过程和减速过程的加速度，然后根据运动学公式和动能定理列式求解；
（3）电场力做负功，电势能增加；电场力做做正功，电势能减小；由于电场力先做负功后作正功，故电势能先增加后减小，当运动到最右端时，电势能最大．

解答：解：（1）带电系统开始运动后，向右加速运动；当B进入电场时，开始做减速运动；故在B刚进入电场时，具有最大加速度；
设B进入电场前的过程中，对AB球系统，由动能定理，有 qEL =

1

2

m

v

2 1

，
解得：v1=

2qEL  m

  ①
即小球A、B运动过程中的最大速度为

2qEL  m

．
（2）当球A运动到右侧边界过程中，对系统运用动能定理，有
2qE?3L-3qE?2L=

1

2

(2m)

v

2 2

解得
v₂=0
由于合力向左，故此后系统回到出发点；
设B从开始到刚进入电场的时间为t₁，根据运动学公式，有
v₁=a₁t₁       ②
根据牛顿第二定律，有
2qE=2ma        ③
由①②③解得
t1=

v1

a1

=

2mL qE

设B进入电场后，系统加速度为a₂，由牛顿第二定律，有
-3qE+2qE=2ma₂
系统做匀减速运动，减速所需时间为t₂，则有t2=

0-v1

2m

=

8mL qE

此后物体先加速返回，B出电场后减速返回，其运动与向右的运动具有对称性；
故带电系统从出发到回到原出发点的过程的总时间为：t=2（t₁+t₂）=6

2mL qE

．
（3）当带电系统第一次速度为零，即A恰好到达右边界NQ时，B克服电场力做的功最多，B增加的电势能最多；
此时P的位置在PQ的中点处，故B电势能增加的最大值为：△W=3qE?2L=6qEL；
即运动过程中带电小球B电势能增加的最大值为6qEL．

点评：本题关键是分析清楚两个小球系统的运动规律，然后根据牛顿第二定律、运动学公式和动能定理列式分析求解．