Question

牛顿曾经认为：熟了的苹果离开苹果树后不一定做自由落体运动，在地球赤道上的苹果树，当其高度为某一个值时，苹果脱离苹果树后可以相对苹果树静止而不下落．经过一番运算后他终于给出了答案．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T，则：
（1）牛顿的“苹果树”的高度为______；
（2）牛顿的“苹果树”的“苹果”脱离果树后运动的线速度为______．（用题目中的已知量表示）

Answer 1

（1）离树的苹果相当于地球同步卫星，设苹果质量为m，离地高度为h，根据万有引力提供向心力
G

Mm

(R+h)2

=m（

2π

T

）²（R+h）①
在地球表面，质量为m的物体重力约等于万有引力，
mg=G

Mm

R2

，所以有g=G

M

R2

   ②
由以上两式可得，h=

gT2

4π2

-R
（2）苹果做匀速圆周运动，线速度可由定义式得出v=

2π(R+h)

T

故答案为（1）

gT2

4π2

-R；（2）v=

2π(R+h)

T