Question

7．如图所示，在xOy平面内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，其中在y轴的右侧与x=a的左侧区域内磁场方向垂直x0y平面向里，在x=a的右侧区域内磁场方向垂直x0y平面向外．在坐标原点有一个电荷量为q、质量为m的带正电粒子（粒子重力不计）沿x轴正方向射人磁场．
（1）若粒子的初速度为v₀，粒子能回到原点O，求a的值；
（2）若粒子初速度未知．但粒子做圆周运动的轨道半径为R=$\sqrt{2}a$，求粒子与x轴的交点坐标及粒子到达x=a右侧最高点所用时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨道半径，根据题意画出运动轨迹，由几何知识求出a．
（2）根据几何知识求出粒子与x轴的交点坐标，得到轨迹对应的圆心角，再求时间．

解答 解：（1）设粒子在轨道半径为r，根据牛顿第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
可得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示．根据几何知识可得：
a=r-$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{r}{2}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2qB}$
（2）粒子做圆周运动的轨道半径为R=$\sqrt{2}a$时，由几何知识可得：θ=45°
粒子与x轴的交点坐标为：
x=a+R（1+cos45°）=（$\sqrt{2}$+2）a
粒子在两个磁场中运动的周期均为：T=$\frac{2πm}{qB}$
则粒子到达x=a右侧最高点所用时间为：t=$\frac{T}{4}$+$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{qB}$
答：（1）a的值是$\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2qB}$．
（2）粒子与x轴的交点坐标是（$\sqrt{2}$+2）a，粒子到达x=a右侧最高点所用时间为$\frac{πm}{qB}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，关键作出粒子运动轨迹，再应用几何知识、周期公式即可正确解题．