Question

1．在光滑绝缘的水平面上，左侧平行极板间有水平方向匀强电场，右侧圆筒内有竖直方向匀强磁场，磁感应强度大小为B，俯视图如图所示，圆的圆心为O点，半径大小为R，一质量为m、电荷量大小为q的带电小球（可视为质点），初速位置在A点，现由静止经电场加速后从C孔沿直径射入磁场区域，粒子和圆筒壁的碰撞没有动能和电荷量损失，B、R、m、q为已知量，圆筒仅有一个出入口C．
（1）求平行板间电压U和小球在磁场中运动半径r的函数表达式；
（2）如果小球能从出入口C返回，求它在磁场中运动的最短时间
（3）求小球能从出入口C返回且在磁场中运动时间最短情况下，平行板间所加电压U的可能值．

Answer 1

分析 （1）对直线加速过程根据动能定理列式，在磁场中，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式，最后联立求解即可；
（2）小球能从出入口C返回，最短时间对应的是经过两次碰撞，画出轨迹图，由几何关系确定轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解；
（3）结合第1问的结论进行分析即可．

解答 解：（1）直线加速过程，根据动能定理，有：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
在磁场中运动的过程，根据牛顿第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$；
联立解得：r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）小球能从出入口C返回，最短时间对应的是经过两次碰撞，轨迹如图所示：

轨道半径：r=$\sqrt{3}R$；
根据牛顿第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\frac{qBr}{m}=\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
故粒子的运动时间为：t=$\frac{3×\frac{2}{3}π•r}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
（3）结合第1问的结论r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，由于r=$\sqrt{3}R$，故：
U=$\frac{3{R}^{2}{B}^{2}q}{2m}$
答：（1）平行板间电压U和小球在磁场中运动半径r的函数表达式为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）如果小球能从出入口C返回，它在磁场中运动的最短时间为$\frac{2πm}{qB}$；
（3）小球能从出入口C返回且在磁场中运动时间最短情况下，平行板间所加电压U的可能值为$\frac{3{R}^{2}{B}^{2}q}{2m}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，要画出临界轨迹，不难．