Question

7．如图甲所示，两条足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L，两导轨的上端接有阻值R的电阻．虚线OO′下方有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁场磁感应强度为B．现将质量m、电阻为r的金属杆ab，从OO′上方某处由静止释放，金属杆在下落的过程中与导轨保持良好接触，且始终保持水平，不计导轨的电阻，重力加速度为g．已知金属杆下落过程中加速度a与下落距离h的关系图象如图乙所示．求：

（1）金属杆刚进入磁场时的速度v₀为多大？
（2）金属杆下落了高度h₀时的速度v为多大？
（3）金属杆下落高度h₀的过程中，在电阻R上产生的热量Q为多少？

Answer 1

分析 （1）由图可知，ab杆进入磁场时，加速度方向向上，大小为g，根据牛顿第二定律，结合切割产生的感应电动势公式、欧姆定律和安培力的公式求出金属杆刚进入磁场时的速度．
（2）金属杆下落了高度h₀时，加速度为零，结合切割产生感应电动势公式、欧姆定律和安培力公式求出此时的速度．
（3）根据能量守恒求出整个回路产生的热量，结合电阻关系求出在电阻R上产生的热量．

解答 解：（1）由图乙知，刚进入磁场时，金属杆的加速度大小为a=g，方向竖直向上．
由牛顿第二定律得：BIL-mg=ma，
设金属杆刚进入磁场时的速度为v₀，则产生的感应电动势为：E=BLv₀
由欧姆定律有：I=$\frac{E}{R+r}$
解得：v₀=$\frac{2mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$，
（2）由图象可知，当h=h₀时加速度为：a=0
则有：mg=BI′L，
根据闭合电路欧姆定律得：I′=$\frac{E^'}{R+r}$，
又E′=BLv
解得：v=$\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$．
（3）由能量守恒得：mgh₀-Q₀=$\frac{1}{2}m{v^2}$，
又Q=$\frac{R}{R+r}{Q_0}$
解得：$Q=[mg{h_0}-\frac{{{m^3}{g^2}{{（R+r）}^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}]\frac{R}{R+r}$．
答：（1）金属杆刚进入磁场时的速度v₀为$\frac{2mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）金属杆下落了高度h₀时的速度v为$\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$．
（3）在电阻R上产生的热量Q为$[mg{h}_{0}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}]\frac{R}{R+r}$．

点评 本题要根据图象的信息读出加速度和杆的运动状态，由牛顿第二定律、安培力、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、能量守恒等多个知识综合求解，综合较强．