Question

4．如图所示，圆心为O的半圆形光滑绝缘细杆固定在竖直面内，细杆最低点固定着一个带正电的点电荷Q，穿在细杆上的两个质量相同的带电小球静止时的位置分别为A、B，AO、BO与QO的夹角分别为α、β（α＞β），两球间的库仑力可忽略不计，则下列判断正确的是（　　）

• A． 在电荷Q的电场中，A点电势高于B点电势
• B． 在电荷Q的电场中，A点场强大于B点场强
• C． 两球所受细杆的弹力相同
• D． 两球所带电荷量之比为q_A：q_B=sin³$\frac{α}{2}$：sin³$\frac{β}{2}$

Answer 1

分析 Q的电场中AB两点的电势和场强可以根据点电荷电场的电场线和等势面的分布图，正点电荷电场靠近点电荷电势高，场强大；两球所受杆的弹力方向一定不同，所以弹力不同，两球带电量之比要通过对AB的受力分析列平衡方程而求得．

解答 解：A、在电荷Q的电场中，B点等势面比A点所在等势面电势高，A点电势低于B点电势，所以A错误
B、在电荷Q的电场中，根据点电荷的场强公式$E=k\frac{Q}{{r}_{\;}^{2}}$，A点距离Q的距离比B点距离Q大，所以A点场强小于B点场强，所以B错误．
C、对A、B球分别受力分析如图
根据几何关系：平行四边形对角线两边是两个等腰三角形，表示弹力和重力的线段为腰，且两球重力相等
对A球杆的弹力${F}_{1}^{\;}$=mg
对B球杆的弹力${F}_{2}^{\;}=mg$
所以两球所受细杆的弹力大小相等，但方向不同，所以C错误
D、对A${F}_{库}^{\;}=k\frac{Q{q}_{A}^{\;}}{（2Rsin\frac{α}{2}）_{\;}^{2}}=2mgsin\frac{α}{2}$
化简得${q}_{A}^{\;}=\frac{8mg{R}_{\;}^{2}（sin\frac{α}{2}）_{\;}^{3}}{kQ}$
同理对B可得${q}_{B}^{\;}=\frac{8mg{R}_{\;}^{2}（sin\frac{β}{2}）_{\;}^{3}}{kQ}$
${q}_{A}^{\;}：{q}_{B}^{\;}=（sin\frac{α}{2}）_{\;}^{3}：（sin\frac{β}{2}）_{\;}^{3}$所以D正确
故选：D

点评 本题考查了电势高低和场强大小的判断能力，记住点电荷场强公式，库仑定律与共点力平衡问题结合关键还是受力分析，列平衡方程．