Question

12．一个截面积为角形的透明介质，∠MON=θ，将它放在真空中，如图所示，当光线从OM界面的P点以入射角i入射到介质时，光线折射到界面ON的Q点，若入射角i逐渐增大到90°时，进入到介质中的光线恰能在界面ON上发生全反射，求：介质的折射率n满足的条件？

Answer 1

分析 入射角i逐渐增大到90°时，根据折射定律求得OM面上的折射角．光线恰能在界面ON上发生全反射，入射角等于临界角，由几何关系分析临界角C与r的关系，根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$结合解答．

解答 解：在界面OM上，有折射定律：$\frac{sini}{sinr}$=n
当i→90°时，有：sinr=$\frac{1}{n}$
在Q点发生全反射的临界角为C，在三角形△PQO中，有：
 90°-r+θ+90°-C=180°，有：C=θ-r   
在Q点全反射，有：sinC=$\frac{1}{n}$；即：sin（θ-r）=$\frac{1}{n}$
解得：sinθcosr-cosθsinr=$\frac{1}{n}$；
代入得
  sinθ•$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$-cosθ•$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n}$；
解得 n=$\frac{\sqrt{2（1+cosθ）}}{sinθ}$
为使入射角i增大到90°时，光线恰能在界面ON上发生全反射，
必有：n≥$\frac{\sqrt{2（1+cosθ）}}{sinθ}$．
答：介质的折射率n满足的条件是n≥$\frac{\sqrt{2（1+cosθ）}}{sinθ}$．

点评 本题的关键要理解并掌握全反射的原理和条件，掌握临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$．充分利用几何知识研究角之间的关系．