Question

16．空间有竖直向下的匀强电场，电场强率E=1000v/m，重力加速度g=10m/s²．，有一个半径r=1m的轻质圆形绝缘转盘，竖直放置，圆心O为固定的光滑转轴，转盘可绕光滑O轴转动．现在圆盘边缘A处固定一个可视为质点的带电小球，其质量m₁=0.3kg，电荷量q=+1×10^-3C；与OA垂直的另一半径的中点B点，固定一个不带电的可视为质点的另一小球，其质量m₂=0.6kg，圆盘系统从图示位置（OA水平）开始无初速释放，（可取sin37°=0.6，sin45°=0.7，sin53°=0.8 ）求：
（1）在转动过程中转盘的最大角速度为多少？
（2）半径OA从开始无初速释放，可以顺时针转过的最大角度是多少？

Answer 1

分析 （1）对两球整体，由动能定理和角速度与线速度的关系列式，得到角速度与圆盘转过的角度的关系，再由数学知识求解最大角速度．
（2）由上题知，当ω再次为0时，转过的角度最大．代入上题的结果求解．

解答 解：（1）两球“m₁+m₂”从开始转过θ角，系统角速度从0增到ω，由动能定理得：
（m₁g+qE）rsinθ-m₂g$\frac{r}{2}$（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
其中：v₁=ωr，v₂=ω$\frac{r}{2}$?
由上得：4×1×sinθ-1×$\frac{6}{2}$×（1-cosθ）=$\frac{0.3}{2}$•ω²+$\frac{0.6}{2}×$$\frac{1}{4}$×ω²
可得：ω=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10（4sinθ+3cosθ-3）}$（rad/s）?
设tanφ=$\frac{4}{3}$，取y=4sinθ+3cosθ=5cos（θ-φ）
由数学知识知，当θ=φ=arctan$\frac{4}{3}$=53°，?
转盘的最大角速度为：ω_m=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$rad/s
（2）从（1）知，ω再次为0时，θ最大，即有：
4sinθ_m+3cosθ_m-3=0
cos（θ_m-φ）=cosφ，则得圆盘转过的最大角度为：
θ_m=2φ=2×53°=106°
答：（1）在转动过程中转盘的最大角速度为$\frac{4}{3}\sqrt{5}$rad/s．
（2）半径OA从开始无初速释放，顺时针转过的最大角度是106°．

点评 本题运用函数法列式，由数学知识求解角速度和角度的最大值．列式时，要注意采用整体法选择研究对象．