Question

4．如图所示，竖直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一个小球在A点正上方由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并恰能到达B点，求：
（1）到达B点时小球的速度；
（2）小球落到斜面上C点时的速度大小；
（3）小球从B点到达C点过程中何时离斜面最远．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得在B处的速度；
（2）由平抛运动位移规律，根据几何关系求得平抛运动时间，然后根据平抛运动速度规律求解末速度；
（3）根据平抛运动位移规律求得任意时刻到斜面距离的表达式，进而求得最大值．

解答 解：（1）小球恰能到达B点，那么对小球在B点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{gR}$；
（2）小球从B到C做平抛运动，故有$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v_Bt；由几何关系可知：x=y，所以，$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$，那么，小球在C点时的竖直分速度${v}_{Cy}=gt=\sqrt{2gR}$，
所以，小球在C点的速度${v}_{C}=\sqrt{3gR}$；
（3）小球从B点到达C点过程中任意时刻离BD的距离$d=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}=\frac{|\sqrt{gR}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{\frac{g}{2}}t-\sqrt{\frac{R}{2}}）^{2}-\frac{R}{2}|}{\sqrt{2}}$，
所以，当$t=\sqrt{\frac{R}{g}}$时，x=R，$y=\frac{1}{2}R$，小球从B点到达C点过程中离斜面最远，
答：（1）到达B点时小球的速度为$\sqrt{gR}$；
（2）小球落到斜面上C点时的速度大小为$\sqrt{3gR}$；
（3）小球从B点到达C点过程中$t=\sqrt{\frac{R}{g}}$时离斜面最远．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．