Question

2．2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途固定修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道Ⅰ，如图所示．12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道Ⅱ，如图所示．已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为E_p=-$\frac{GMm}{r}$（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量．若“嫦娥三号”在轨道II上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变．已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{{{v_1}^2}}{{R+{h_1}}}$，化简可得嫦娥三号在轨道I上做匀速圆周运动的速度．
（2）“嫦娥三号”在轨道II上运动的过程中机械能守恒定律，有$-\frac{GMm'}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m'{v_P}{'^2}=-\frac{GMm'}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m'{v^2}$，化简可得Q点的速度．

解答 解：（1）“嫦娥三号”在轨道I上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{{{v_1}^2}}{{R+{h_1}}}$
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三号”在轨道II上运动的过程中，由机械能守恒定律可知，P点的机械能等于Q点的机械能，则有：
$-\frac{GMm'}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m'{v_P}{'^2}=-\frac{GMm'}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m'{v^2}$
解得：${v_P}'=\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小是$\sqrt{\frac{GM}{R+{h}_{1}}}$；
（2）它经过P点时的速度大小是$\sqrt{{v}^{2}-\frac{2GM}{R+{h}_{2}}+\frac{2GM}{R+{h}_{1}}}$．

点评 本题涉及到多个知识点，既要用到万有引力提供向心力这个关系，还要用到机械能守恒，运算复杂，计算时要小心谨慎．