Question

2．如图所示，水平绝缘光滑的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，B、O、C在同一竖直线上，半圆形轨道的半径R=0.40m．在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，现有一电荷量q=+1.0×10^-4C，质量m=0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，已知P点到B点的距离s=1m．取g=10m/s²．试求：
（1）电场强度E的大小．
（2）带电体在圆弧轨道上运动时的最大动能和对轨道的最大压力．

Answer 1

分析 （1）在C点处，带电体由重力提供其向心力，由牛顿第二定律求出速度．再根据动能定理求解电场强度E的大小．
（2）当带电体所受的电场力与重力的合力方向通过O点时，粒子运动的动能最大值，根据动能定理求解最大动能，并由牛顿第二、第三定律结合求解带电体对轨道的最大压力．

解答 解：（1）由带电体恰好通过C点，可得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：v_c=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s          
带电体从P运动到C过程，依据动能定理得：
qEs-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：E=1.0×10⁴N/C；
（2）当带电体所受的电场力与重力的合力方向通过O点时，粒子运动的动能最大值，设此位置为F．
设当物体运动到F时，此时OF与竖直方向的夹角为α，则有：tanα=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{1×1{0}^{4}×1×1{0}^{-4}}{0.1×10}$=1
则 α=45°
从A到F，由动能定理可得：
Eq（s+Rsin45°）-mg（R-Rcos45°）=E_km
解得最大动能为：E_km=$\frac{2\sqrt{2}+3}{5}$J=1.17J．
在F点，带电体对轨道的压力最大，则有：
N-$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
又$m{v}_{m}^{2}$=2E_km
解得：N=3（$\sqrt{2}$+1）N
根据牛顿第三定律得带电体对轨道的最大压力为：N′=N=3（$\sqrt{2}$+1）N．
答：（1）电场强度E的大小为1.0×10⁴N/C．
（2）带电体在圆弧轨道上运动时的最大动能为1.17J，对轨道的最大压力是3（$\sqrt{2}$+1）N．

点评 本题是动能定理与圆周运动的向心力知识的综合，关键是运用分解法研究带电体在复合场中运动的过程．