Question

3．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，两导轨间距离为L，磁感应强度大小为B，匀强磁场垂直于导轨平面上，金属棒ab垂直于导轨放置，导轨的M、P两端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，金属棒通过水平细线跨过滑轮与物体A相连，已知ab棒与物体A质量均为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，现将ab棒由静止释放，测得ab棒沿导轨滑行过程中，流过电阻R的总电量为q，
（1）证明：导体棒滑行过程中任一时刻克服安培力做功的功率总等于电路中的电功率；
（2）求ab棒滑行过程中的最大速度；
（3）求ab棒滑行达到最大速度的过程中电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式得到克服安培力做功．由电功率公式得到电功率表达式，即可得证．
（2）金属棒先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，速度达到最大．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式及平衡条件，求解最大速度的大小．
（3）在物体A下落过程中，物体A的重力势能减少量转化为内能、ab棒和物体A的动能，根据q求出ab棒运动的距离，由能量守恒定律求解R中产生的焦耳热．

解答 解：（1）设ab棒速度为v时产生的感应电动势为E，回路中的电流为I，则
  E=BLv
  I=$\frac{E}{R}$
ab棒所受的安培力大小 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
克服安培力做功的功率 P_克=Fv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
电路中的电功率 P_电=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
故克服安培力做功的功率总等于电路中的电功率．得证．
（2）当ab棒匀速运动时速度最大，则有：mg=F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
得 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）设ab棒滑行达到最大速度的过程中通过的距离为x，则
 q=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$
又 x=$\overline{v}$t
解得 x=$\frac{qR}{BL}$
根据能量守恒定律得：mgx=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$+Q
解得焦耳热 Q=$\frac{mgqR}{BL}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）证明见上；
（2）ab棒滑行过程中的最大速度是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）ab棒滑行达到最大速度的过程中电阻R上产生的焦耳热是$\frac{mgqR}{BL}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 解决本题的关键要对棒受力正确分析，掌握速度最大的条件，懂得根据电流的平均值，由电量可求得棒的距离．能熟练应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、动能定理等正确解题．