Question

2．如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0m．从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为$\frac{4}{3}$．
（i）求池内的水深；
（ii）一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到地面的高度为2.0m．当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°．求救生员的眼睛到池边的水平距离（结果保留1位有效数字）．

Answer 1

分析 （i）光由光源A射向B点时恰好发生全反射，入射角等于临界角．由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求临界角C，从而得到光线在B点的入射角，再由几何知识求出水深．
（ii）作出射向救生员的光路，由折射定律求出光线在水面的入射角．根据几何关系求解救生员的眼睛到池边的水平距离．

解答 解：（i）光由A射向B点发生全反射，光路如图所示．
图中入射角θ等于临界角C，则有
  sinθ=$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$
由题，$\overline{AO}$=3m，由几何关系可得：
  $\overline{AB}$=4m
所以 $\overline{BO}$=$\sqrt{{\overline{AB}}^{2}-{\overline{AO}}^{2}}$=$\sqrt{7}$m
（ii）光由A点射入救生员眼中的光路图如图所示．
在E点，由折射率公式得 $\frac{sin45°}{sinα}$=n
得sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，tanα=$\frac{3}{\sqrt{23}}$=$\frac{3\sqrt{23}}{23}$
设$\overline{BE}$=x，则得 tanα=$\frac{\overline{AQ}}{\overline{QE}}$=$\frac{3-x}{\sqrt{7}}$
代入数据解得 x=（3-$\frac{3\sqrt{161}}{23}$）m
由几何关系可得，救生员到池边水平距离为 （2-x）m≈0.7m
答：
（i）池内的水深$\sqrt{7}$m．
（ii）救生员的眼睛到池边的水平距离约0.7m．

点评 本题是折射定律的应用问题，根据几何知识与折射定律结合进行处理．要掌握全反射的条件和临界角公式，并能灵活运用．