Question

19．如图所示，在竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r=0.2m的四分之一细圆管CD，圆管内径略大于小球直径，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐，一个可视为质点的小球放在曲面AB上，小球质量m=1kg．现从距BC的高度为h=0.6m处由静止释放小球，它与BC间的动摩擦因数μ=0.5，小球进入管口C端时，它对上管壁有F_N=10N的相互作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧弹性势能E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球通过C点时的速度大小；
（2）水平面BC的长度；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km．

Answer 1

分析 （1）小球进入管口C端时，对小球进行受力分析，由牛顿第二定律和向心力知识求小球到达C点时的速度；
（2）对小球从A到C的过程运用动能定理列式求解水平面BC的长度；
（3）小球在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零，由此求弹簧的压缩量，然后结合机械能守恒即可求出小球的最大动能．

解答 解：（1）设小球在C点处的速度大小为v_C，由牛顿第二定律可知：${F_N}+mg=m\frac{v_C^2}{r}$，
解得：${v_C}=\sqrt{2gr}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s；
（2）设BC的长度为S，小球从A运动到C的过程中，由动能定理可知：$mgh-μmgS=\frac{1}{2}mv_C^2-0$，
解得：S=0.8m；
（3）当小球所受重力等于弹簧弹力时，小球运动速度最大，设此时弹簧的压缩量为△x，根据平衡条件，有：mg=k△x，
解得：△x=0.1m，
小球从C点运动至速度最大的过程中，由能量守恒可知：$mg（r+△x）={E_p}+{E_{km}}-\frac{1}{2}mv_C^2$，
解得E_km=4.5J；
答：（1）小球通过C点时的速度大小为2m/s；
（2）水平面BC的长度为0.8m；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大动能为4.5J．

点评 解决本题的关键要明确小球的受力情况和能量转化情况．要知道在C点，小球的向心力来源于合力．小球压缩弹簧时合力为零时速度最大．