Question

18．如图所示，在两个水平放置的平行金属板之间有竖直向下的匀强电场，电场强度为E．在两板之间及右侧有垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度均为B．现有${\;}_{1}^{2}$H、${\;}_{2}^{4}$He两个带电粒子在同一竖直平面内，分别从左端以水平速度射入两平行板之间，恰好都做匀速直线运动，射入点相距d=$\frac{2mE}{e{B}^{2}}$，已知e为元电荷的电荷量，m为质量子质量，${\;}_{1}^{2}$H、${\;}_{2}^{4}$He的质量分别为2m、4m，不计重力和粒子间的作用力．要使两粒子离开平行金属板之间的区域后能够相遇，求两粒子射入平行板的时间差△t．（如需作图辅助解题，请将图一并画出）

Answer 1

分析 根据粒子受到电场力与洛伦兹力相平衡，可求出速度大小；再由洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律，则可求出运动的半径，根据几何关系，确定圆心角，最后结合周期公式，即可求解．

解答 解：如图所示，由于两粒子能匀速通过平行板，则有：
qvB=qE
解得：v=$\frac{E}{B}$
两粒子的速度相等，通过平行板的时间相同，两粒子离开平行板后均做匀速圆周运动，轨迹如图所示．有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{mv}{qB}$
故有：r₁=$\frac{2mv}{eB}$=$\frac{2mE}{e{B}^{2}}$=d
r₂=$\frac{4mv}{2eB}$=$\frac{2mE}{e{B}^{2}}$=d
因为r₁=r₂=d，所以必相遇在A点，因为△O₁O₂A为等边三角形，所以${\;}_{1}^{2}$H粒子在磁场中转过120°角，${\;}_{2}^{4}$He粒子在磁场中转过60⁰角，又由T=$\frac{2πm}{qB}$ 得：
T₁=$\frac{4πm}{eB}$；
T₂=$\frac{8πm}{2eB}$=$\frac{4πm}{eB}$
解得：△t=t₁-t₂=$\frac{{T}_{1}}{3}$-$\frac{{T}_{2}}{6}$=$\frac{{T}_{1}}{6}$=$\frac{2πm}{3eB}$
答：两粒子射入平行板的时间差$\frac{2πm}{3eB}$．

点评 考查带电粒子受到电场力与洛伦兹力，做匀速直线运动与匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，注意巧用几何关系确定运动轨迹对应的圆心角，并掌握运动的半径与周期公式．