Question

20．如图，在xoy直角坐标系中，在第三象限有一平行x轴放置的平行板电容器，板间电压U=1×10²V．现有一质量m=1.0×10^-12kg，带电量q=2.0×10^-10C的带正电的粒子（不计重力），从下极板处由静止开始经电场加速后通过上板上的小孔，垂直x轴从A点进入第二象限的匀强磁场中．磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B=1T．粒子在磁场中转过四分之一圆周后又从B点垂直y轴进入第一象限，第一象限中有平行于y轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过x轴上的C点，已知OC=1m．求：
（1）粒子飞出极板的速度v；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r；
（3）第一象限中匀强电场场强E的大小；
（4）粒子从A到C运动的总时间t．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出粒子飞出加速度电场时的速度；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子做圆周运动的轨道半径；
（3）粒子在第一象限的电场中做类平抛运动，由匀速运动与匀变速运动的运动规律求出电场强度的大小；
（4）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$求出粒子在磁场中运动的时间；粒子在电场中做类平抛运动，结合平抛运动的公式即可求出粒子在电场中运动的时间，二者之和即为所求．

解答 解：（1）设粒子飞出极板的速度为v，粒子运动的过程中电场力做功，由动能定理有：
$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
解得：$v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}=\sqrt{\frac{2×100×2×1{0}^{-10}}{1×1{0}^{-12}}}$=200m/s，
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
代入数据，由以上可解得粒子做圆周运动的半径为：r=1m
（3）粒子从B点运动到C点的过程，
沿x轴方向有：$\overline{OC}=vt$
沿y轴负方向有：$\overline{BO}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中BO=r 
又由牛顿第二定律：qE=ma
由以上各式可解得：E=400V/m；$\overline{OC}=1$m
（4）粒子在磁场中偏转的角度是90°，设粒子从A到B所用时间为t₁，从B到C时间为t₂，粒子做圆周运动的周期为：
T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2×3.14×1}{200}=3.14×1{0}^{-2}$s
${t}_{1}=\frac{90°}{360°}•T=\frac{1}{4}×3.14×1{0}^{-2}=7.85×1{0}^{-3}$s
${t}_{2}=\frac{\overline{OC}}{v}=\frac{1}{200}s=1×1{0}^{-3}$s
$t={t}_{1}+{t}_{2}=7.85×1{0}^{-3}+5×1{0}^{-3}=1.285×1{0}^{-2}$s
答：（1）粒子飞出极板的速度是200m/s；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是1m；
（3）第一象限中匀强电场场强E的大小是400V/m；
（4）粒子从A到C运动的总时间是1.285×10^-2s．

点评 带电粒子在平行板电容器间加速、在匀强磁场中做匀速圆周运动、在匀强电场中做类平抛运动，分析清楚粒子的运动规律，应用动能定理、牛顿第二定律、类平抛运动运动规律，可以正确解题．