Question

19．如图所示，质量分布均匀、半径为R的光滑半圆性金属槽，静止在光滑的水平面上，左边紧靠竖直墙壁．质量为m的小球从距金属槽上端R处由静止下落，恰好与金属槽左端相切进入槽内，到达最低点后向右运动从金属槽的右端冲出，小球到达最高点时距金属槽圆弧最上端的距离为$\frac{3}{4}$R，重力加速度为g，不计空气阻力．则下列说法正确的是（　　）

• A． 小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小为4mg
• B． 小球刚从金属槽口右端飞出时二者水平速度相同
• C． 小球刚从金属槽右端抛出时小球的速度为$\frac{\sqrt{6Rg}}{2}$
• D． 小球和金属槽质量之比为1：7

Answer 1

分析 根据机械能守恒求得小球在最低点的速度，进而由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律得到压力；根据速度的合成得到两者水平速度相等，然后由匀变速运动规律求得小球竖直分速度，再根据能量守恒及水平方向动量守恒求得水平速度及质量比．

解答 解：A、小球下落到最低点的过程中，在水平方向上金属槽受到小球的作用力向左，故金属槽保持静止不动；小球运动过程只有重力做功，故机械能守恒，即有$2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，${v}_{1}=2\sqrt{gR}$；
所以，对小球在最低点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}=5mg$，故由牛顿第三定律可得：小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小N=F_N=5mg，故A错误；
B、小球冲出金属槽，小球相对金属槽的速度竖直向上，故小球刚从金属槽口右端飞出时二者水平速度相同，故B正确；
CD、小球刚从金属槽口右端飞出时二者水平速度相同，故小球冲出金属槽后先对金属槽做竖直上抛运动，又有小球到达最高点时距金属槽圆弧最上端的距离为$\frac{3}{4}$R，所以，小球冲出金属槽时的竖直分速度${v}_{y}=\sqrt{2g×\frac{3}{4}R}=\sqrt{\frac{3}{2}gR}$；
小球从金属槽最低点运动到最右端的过程中，小球和金属槽在水平方向上合外力为零，故动量守恒，则有：mv₁=（m+M）v_x；
又有小球和金属槽在运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，即$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{x}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}+mgR$；
所以，${v}_{x}=\sqrt{\frac{m}{m+M}（{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{y}}^{2}）-\frac{2m}{m+M}gR}=\sqrt{\frac{m}{m+M}×\frac{1}{2}gR}$，所以，$\frac{m}{m+M}×\frac{1}{2}gR=（\frac{m}{m+M}{v}_{1}）^{2}=\frac{m}{m+M}×\frac{m}{m+M}4gR$，所以，$\frac{m}{m+M}=\frac{1}{8}$；
故$\frac{m}{M}=\frac{1}{7}$，${v}_{x}=\frac{1}{4}\sqrt{gR}$，那么，小球刚从金属槽右端抛出时小球的速度$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\frac{5}{4}\sqrt{gR}$，故C错误，D正确；
故选：BD．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．