Question

5．如图在相距为l的两弹性墙壁间有质量为m的弹性小球以垂直于壁初速度v₀往返弹跳．设壁质量远大于m，且碰壁为完全弹性碰撞，重力及空气阻力忽略不计．求：
（1）每壁所受平均作用力；
（2）若用外力使左壁以v（远小于v₀）缓缓右移，证明外力所做功等于小球动能增加．

Answer 1

分析 （1）小球为研究对象，根据动量定理列式，求弹性壁对小球的作用力，由牛顿第三定律得到每壁所受平均作用力．
（2）再以小球为研究对象，由动量定理求壁对球的作用力，左壁缓慢移动时，外力等于球对壁的作用力．再根据功的计算公式得到外力做的功．求出动能变化量，再证明即可．

解答 解：（1）以小球为研究对象，取小球碰壁前的速度方向为正方向．根据动量定理得：
-F•$\frac{2l}{{v}_{0}}$=-mv₀-mv₀；
解得：F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{l}$
根据牛顿第三定律得知，每壁所受平均作用力为：F′=F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{l}$
（2）若用外力使左壁以v（远小于v₀）缓缓右移时，对小球，根据动量定理得：
-F″t=-m（v₀+2v）-mv₀
解得：F″=$\frac{2m（{v}_{0}+v）}{t}$
由牛顿第三定律知，左壁所受平均作用力为：F″′=F″=$\frac{2m（{v}_{0}+v）}{t}$
左壁缓慢移动时，外力等于球对壁的作用力，则外力为：F=F″′=$\frac{2m（{v}_{0}+v）}{t}$
外力做功为：W=FS=$\frac{2m（{v}_{0}+v）}{t}$•vt=2mv（v₀+v）
小球动能增加为：△E_k=$\frac{1}{2}m（2v+{v}_{0}）^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mv（v₀+v）
则得：△E_k=W．
得证．
答：（1）每壁所受平均作用力是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{l}$；
（2）证明见上．

点评 解决本题时一要选好研究对象，要以小球为研究对象，求碰撞的作用力时，往往根据动量定理研究．